Übung vom 19.05.09

Aufgabe1:

Betrachten Sie das Beispiel aus der Vorlesung (S.4) Führen Sie den Rangsummentest von Wilcoxon zum Niveau α = 0,05 durch und entscheiden Sie ob Ho abgelehnt werden kann, indem als kritische Werte

a) Tabellenwerte (exakt)

b) Approximationen mittels der Standartnormalverteilung

benutzt werden.

Lösung: a) Ho : Fx(z) = Fy(z) HA: Fx(z) ≠ Fy(z)

Teststatistik : W(x) = 4+7+1+8 = 20

Wx+Wy = 9 * 8/2 = 36

größter Wert : Wx4(4;0,975) = 25

kleinster Wert : Wx4(4;0,025) = 11

Wx = 20 ist nicht kleiner als 11

Wx = 20 ist nicht größer als 25 ===> Ho wird nicht abgelehnt!!

b)

Z0,025 = -1,960 Z0,975 = 1,960

Ho ablehnen wenn Zx < Z0,025 oder Zx > Z0,975

0,5774 > -1,960

0,5774 < 1,960 ====> Ho wird nicht abgelehnt

Aufgabe 2:

Führen Sie zu den gegebenen Daten einen U-Test durch.

Lösung:

Ux = 2 + 0 + 4 + 0 = 6

minimum: Ux = 0 (0+0+0+0)

maximum: Ux = 16 (4+4+4+4)

E(Ux) = 1/12*nx*ny

E(Ux) = 1/12*4*4 = 8

Var(Ux) = 1/12*(nx*ny*(nx+ny+1)

Var(Ux) = 1/12*(4*4*9) = 12

U4(4;0,025) =1 < 6

U4(4;0,975) =15 >14 ====> Ho wird nicht abgelehnt

Aufgabe 3:

Um die Wirkung von Vitamin B1 auf die Wachstumsförderung von Pilzen festzustellen, wurden von 24 Pilzen N=13 zufällig ausgewählte mit Vitamin B1 behandelt, die restlichen M=11 blieben unbehandelt. Es ergaben sich folgende Daten:

Es stellt sich die Frage, ob die Vitaminbehandlung zu einem (signifikant) veränderten Pilzgewicht führt,

d.h. Ho : F1=F2 vs. Ha : F1 ≠ F2

Es gelte 1²= 2² (Varianzhomogenität), die Verteilungen der Grundgesamtheiten seien unbekannt, aber stetig. Führen Sie den Rangsummentest von Wilcoxon zum Niveau α = 0,05 durch und entscheiden Sie ob Ho abgelehnt werden kann, indem als kritische Werte

a) Tabellenwerte (exakt)

b) Approximationen mittels der Standartnormalverteilung

benutzt werden.

Lösung: Ho : F1=F2 Ha : F1 ≠ F2

Wx + Wy = (nx+ny+1) *((nx+ny)/2

Wx + Wy = 25*12/2 = 300

kleinster Wert: Wx = (nx+1)*(nx/2) = 91

größter Wert: Wx = (nx+1+2ny)*(nx/2) = 234

E(x) = nx/2*(nx+ny+1)

E(x) = 13/2* (13+11+1) = 162

Var(x) = 1/12nx*ny(nx+ny+1)

Var(x) = 1/12*13*11*(12+11+1) = 298

Wx < W13(11;0,025) = 104 < 220

Wx > W13(11;0.975) = 171 < 220 ===> Ho ablehnen!!

Aufgabe 4:

Führen sid nun bei gleichen Vorraussetzungen und gleichem α wie in Aufgabe 3 den U -Test durch. Wie sieht die Entscheidung jetzt aus?

Ux = 11 + 11 + 8 + 11 + 8 + 11 + 8 + 11 + 9 + 11 + 11 + 11 + 8 = 129

minimum: Ux = 0

maximum: Ux = 143

E(Ux) = 1/12*nx*ny

E(Ux) = 1/12*13*11 = 11,92

Var(Ux) = 1/12*(nx*ny*(nx+ny+1)

Var(Ux) = 1/12*(13*11*25) = 297

U13(11;0,025) = 38 < 129

U13(11;0,975) = 105 < 129 ===> Ho wird abgelehnt!!